Pengertian Logaritma, Sifat-sifat dan Contoh Soal Beserta Jawabannya !

Posted on

Dari pembahasan Fisika soal muatan listrik, kita beralih ke pembahasan Matematika tentang Logaritma. Sub bab ini dahulu merupakan salah satu sub bab pelajaran matematika yang kurang mimin kuasai. Bagi sobat yang merasakan hal yang sama tak perlu khawatir karena kami akan memberikan penjelasan tentang Pengertian Logaritma, Rumus, Sifat dan Contoh Soal Logaritma beserta jawabannya.

Pengertian Logaritma

Logaritma adalah operasi matematika yang merupakan kebalikan (atau invers) dari eksponen atau pemangkatan.
Rumus dasar logaritma:
Rumus Logaritma
Pada rumus ini, a adalah basis atau pokok dari logaritma tersebut.

alog b = c

Pada penulisan logaritma alog b = c, a disebut bilangan pokok dan b disebut bilangan numerus atau bilangan yang dicari nilai logaritmanya (b > 0) dan c merupakan hasil logaritma. Jika nilai a sama dengan 10, biasanya 10 tidak dituliskan sehingga menjadi log b = c. Jika nilai bilangan pokoknya merupakan bilangan e (bilangan eurel) dengan e = 2,718281828 maka logaritmanya ditulis dengan logaritma natural dan penulisannya dapat disingkat menjadi ln, misalnya elog b = c menjadi:

ln b = c

Contoh Logaritma

Berikut adalah contoh logaritma :

Contoh Logaritma sederhana

Sifat-sifat Logaritma

Logaritma memiliki sifat-sifat unik diantaranya :

Sifat Logaritma dari perkalian

Suatu logaritma merupakan hasil penjumlahan dari dua logaritma lain yang nilai kedua numerus-nya merupakan faktor dari nilai numerus awal. Berikut modelnya:

alog p.q = alog p + alog q

dengan syarat a > 0, a \ne 1, p > 0, q > 0.

Perkalian Logaritma

Suatu logaritma a dapat dikalikan dengan logaritma b jika nilai numerus logaritma a sama dengan nilai bilangan pokok logaritma b. Hasil perkalian tersebut merupakan logaritma baru dengan nilai bilangan pokok sama dengan logaritma a, dan nilai numerus sama dengan logaritma b. Berikut model sifat logaritma nya:

alog b x blog c = alog c

dengan syarat a > 0, a \ne 1.

Sifat Logaritma dari pembagian

Suatu logaritma merupakan hasil pengurangan dari dua logaritma lain yang nilai kedua numerus-nya merupakan pecahan atau pembagian dari nilai numerus logaritma awal. Berikut modelnya:

alog \frac{p}{q} = alog p – alog q

dengan syarat a > 0, a \ne 1, p > 0, q > 0.

Sifat Logaritma berbanding terbalik

Suatu logaritma berbanding terbalik dengan logaritma lain yang memiliki nilai bilangan pokok dan numerus-nya saling bertukaran. Berikut modelnya:

alog b = \frac{1}{^b log a}

dengan syarat a > 0, a \ne 1.

Logaritma berlawanan tanda

Suatu logaritma berlawanan tanda dengan logaritma yang memiliki numerus-nya merupakan pecahan terbalik dari nilai numerus logaritma awal. Berikut modelnya:

alog \frac{p}{q} = – alog \frac{q}{p}

dengan syarat a > 0, a \ne 1, p > 0, q > 0.

Sifat Logaritma dari perpangkatan

Suatu logaritma dengan nilai numerus-nya merupakan suatu eksponen (pangkat) dapat dijadikan logaritma baru dengan mengeluarkan pangkatnya menjadi bilangan pengali. Berikut modelnya :

alog bp = p. alog b

dengan syarat a > 0, a \ne 1, b > 0

Perpangkatan Bilangan Pokok Logaritma

Suatu logaritma dengan nilai bilangan pokoknya merupakan suatu eksponen (pangkat) dapat dijadikan logaritma baru dengan mengeluarkan pangkatnya menjadi bilangan pembagi. Berikut modelnya:

^{a^p} log b = \frac{1}{p} ^a log b

dengan syarat a > 0, a \ne 1.

Bilangan pokok logaritma sebanding dengan perpangkatan numerus

Suatu logaritma dengan nilai numerus-nya merupakan suatu eksponen (pangkat) dari nilai bilangan pokoknya memiliki hasil yang sama dengan nilai pangkat numerus tersebut. Berikut model sifat logaritma nya:

alog ap = p

dengan syarat a > 0 dan a \ne 1.

Perpangkatan logaritma

Suatu bilangan yang memiliki pangkat berbentuk logaritma, hasil pangkatnya adalah nilai numerus dari logaritma tersebut. Berikut modelnya:

a^{^a log m} = m

dengan syarat a > 0, a \ne 1, m > 0.

Mengubah basis logaritma

Suatu logaritma dapat dipecah menjadi perbandingan dua logaritma sebagai berikut:

^p log q = \frac{^a log p}{^a log q}

dengan syarat a > 0, a \ne 1, p > 0, q > 0

Baca juga : Pengertian Sistem Secara Umum dan Menurut Para Ahli Lengkap !

Contoh Logaritma dan Pembahasan (Jawaban)

Soal Logaritma 1

Diketahui 3log 5 = x dan 3log 7 = y. maka, nilai dari 3log 245 1/2 adalah … ?            (EBTANAS ’98)

Pembahasan 1

3log 245 ½ = 3log (5 x 49) ½

3log 245 ½ = 3log ((5) ½ x (49) ½)

3log 245 ½ = 3log (5) ½ + 3log (72½

3log 245 ½ = \frac{1}{2} ( 3log 5 + 3log 7)

3log 245 ½ = \frac{1}{2} (x + y)

Jadi, nilai dari 3log 245 1/2 adalah \frac{1}{2} (x + y).

Soal Logaritma 2

Jika b = a4, nilai a dan b positif, maka nilai alog b – blog a adalah …?              (UMPTN ’97)

Pembahasan 2

Diketahui bahwa b = a4, maka dapat disubstitusi kedalam perhitungan:

alog b – blog a = alog a4  – ^{a^4} log a

alog b – blog a = 4 (alog a) – \frac{1}{4}alog a)

alog b – blog a = 4 – \frac{1}{4}

alog b – blog a = 3 \frac{3}{4}

Jadi, nilai dari alog b – blog a pada soal tersebut adalah 3 \frac{3}{4}.

Soal Logaritma 3

Jika alog (1- 3log \frac{1}{27}) = 2, maka tentukanlah nilai a.   (UMPTN ’97)

Pembahsan 3

Jika kita buat nilai 2 menjadi sebuah logaritma dengan bilangan pokok logaritmanya adalah a menjadi alog a2= 2, maka didapat :

alog (1- 3log \frac{1}{27}) = 2

alog (1- 3log \frac{1}{27}) = alog a2

Nilai numerus kedua logaritma tersebut bisa menjadi sebuah persamaan:

1- 3log \frac{1}{27} = a2

3log 3 – 3log \frac{1}{27} = a2

3log 3 – 3log 3(-3) = a2

3log \frac{3}{3^{(-3)}} = a2

3log 34 = a2

4 = a2

Soal Logaritma 4

Jika ^{ 4 }log(^{ 2 }\log x)+^{ 2 }\log (^{ 4 }logx)=2, maka ^{ 3 }\log ^{ 3 }\log \sqrt { x+\sqrt { x } +61 }  = …

Penyelesaian :

14.gif

Baca juga : Pengertian Kewirausahaan Menurut Para Ahli Lengkap dengan Ciri-cirinya !

Demikian penjelasan tentang Pengertian Logaritma, Sifat-sifat Logaritma dan Contoh Soal Logaritma beserta jawabannya. Semoga artikel tentang logaritma ini dapat memperluas wawasan sobat yaa 🙂 Jika sobat berkenan dengan artikel yang kami sajikan, sobat dapat berlangganan email dengan meninggalkan pesan di kolom komentar yaa 🙂

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *